Спирала на Архимед

В 3 век преди Новата Ера, Архимед открил крива, която в последствие е наречена спирала на Архимед, докато правел експерименти с компас.

В древността използвали спиралата като най-добър метод за определяне на площта на кръг. Спиралата дала възможност за по-точно измерване на дължината на окръжността, а оттам и на площта на кръга.

Какво е това обобщена Архимедова спирала?

Обобщената Архимедова спирала се определя като крива, която се задава с полярни координати чрез уравнението: Нататък ще положиме b=0. Спиралата на Архимед, в частност,принадлежи на множество обобщени Архимедови спирали.

Параметризация на спиралата на Архимед

Ще започнем с уравнението:

Ще използваме теоремата на Питагор : ,където r е радиус на окръжността. И формулите на тригонометричните функции sin и cos :

Да повдигнем уравнението на спиралата на квадрат :

Аналогично изразяваме :

Така изведохме формулите за координатите на параметризираната спирала и можем да ги приложим при нейното изчертаване.

Дефиниция:Архимедова спирала е равнинна трансцендентна крива, която се дефинира като геометричното място на точка, движеща се с постоянна скорост v по лъч, който се върти около полюс О с постоянна ъглова скорост w.